MEMBUAT SOAL KREATIF KOMBINATORIKA DAN PROBABILITAS JENJANG SMA

 "Seorang agen rahasia menerobos penjagaan yang ekstra ketat untuk mengambil kembali rahasia negara yang telah dicuri oleh teroris dimulai dari pintu gerbang hingga masuk kepintu rahasia .Setelah melewati beberapa penjaga yang berhasil dikelabui dan dilumpuhkan ,tibalah saatnya dia harus membuka membuka brankas  yang memerlukan  kombiniasi sebagai kunci pembuka ........"

"Dapatkah kalian membantunya dan teori apa yang bisa digunakan ...?"

Inilah kalimat pembuka seorang guru matematika kepada siswa SMA saat memulai kegiatan pembelajaran  di kelas . Bagaimana penjelasan.?

Dalam kehidupan sehari-hari, kita seringkali menjumpai kasus-kasus yang berhubungan dengan perhitungan banyak kemungkinan atau banyak cara pengisian tempat. Untuk memecahkan masalah-masalah semacam ini, terdapat tiga konsep utama yang harus dipahami, antara lain:

1.    Prinsip Filling Slots dengan Product Rule : Misalkan suatu urutan atau susunan terdiri dari sebanyak k elemen. Apabila posisi pertama pada urutan tersebut dapat diisi dengan sebanyak n₁cara, posisi ke dua pada urutan tersebut dapat diisi dengan sebanyak n₂cara, dan seterusnya, maka banyak susunan yang mungkin dibuat adalah n₁ x n_­2 x ... x n_k.

Dalam prosedur Filling Slots, analisis banyaknya kemungkinan untuk masing-masing posisi tak harus dimulai dari posisi pertama, melainkan dapat juga dari posisi yang prioritasnya paling tinggi (yang paling penting diantara posisi-posisi lainnya). Selain itu apabila terdapat kesulitan untuk menghitung banyaknya susunan dengan ketentuan tertentu, dapat dihitung terlebih dulu banyaknya susunan yang tidak memenuhi ketentuan tersebut kemudian mengurangkannya dari banyak keseluruhan susunan yang mungkin dibuat (konsep komplemen pada bab himpunan). Perbedaan utama antara permutasi dan kombinasi adalah diperhatikan atau tidaknya urutan pada susunan yang dibuat.

2.    Permutasi adalah penyusunan sejumlah elemen sedemikian sehingga setiap elemen muncul tepat satu kali dan urutan elemen-elemen itu diperhatikan. Sebagai contoh, apabila Anda diminta untuk menulis-kan permutasi dari huruf-huruf A, B, C, dan D dan permutasi yang dikehendaki hanya terdiri dari 2 elemen maka susunan yang mungkin adalah AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, dan DC. Meskipun beberapa di antara susunan-susunan tersebut tersusun atas elemen-elemen yang sama persis (misalnya AB dan BA yang sama-sama tersusun atas elemen A dan B), pada kasus ini mereka dianggap berbeda satu sama lain karena urutan yang mereka tampilkan berbeda. Apabila Anda diminta untuk menuliskan permutasi dari sebanyak n elemen berlainan dengan ketentuan bahwa hasil yang dikehendaki hanya terdiri dari k elemen, banyak permutasi yang mungkin dibuat ialah

P(n, k) =

3.    Kombinasi adalah penyusunan sejumlah elementanpa memerhatikan urutan elemen-elemen tersebut pada susunan yang dihasilkan. Sebagai contoh, apabila Anda diminta untuk menuliskan kombinasi dari huruf-huruf A, B, C, dan D dimana hasil yang dikehendaki hanya terdiri dari dua elemen dengan tidak ada perulangan, susunan yang mungkin dibuat adalah AB, AC, AD, BC, BD, dan CD. Apabila AB dan BA dianggap sebagai dua susunan yang berbeda pada kasus permutasi, kali ini AB dan BA dianggap sebagai dua susunan yang sama karena kini urutan pada susunan tidak diperhatikan. Apabila Anda diminta untuk menuliskan kombinasi dari sebanyak n elemen berlainan dengan ketentuan bahwa hasil yang dikehendaki hanya terdiri dari k elemen tanpa adanya perulangan, banyak kombinasi yang mungkin dibuat adalah

C(n, k) =  =

Peluang (probability) adalah perbandingan antara banyaknya kemungkinan kejadian yang diharapkan dan keseluruhan kemungkinan kejadian. Keseluruhan kemungkinan kejadian ini disebut ruang sampel. Nilai peluang sebuah kejadian berkisar dari nol hingga satu. Sebagai contoh, misalkan Anda meng-gelindingkan sebuah dadu bersisi dua puluh dan Anda mengharapkan munculnya muka dengan angka 13. Karena muka yang Anda harapkan adalah satu dari dua puluh muka yang ada pada dadu tersebut, maka peluang munculnya muka dengan angka 13 adalah 1/20. Frekuensi harapan adalah banyaknya peristiwa yang diharapkan terjadi dari keseluruhan peristiwa yang terjadi, nilainya ditentukan dengan mengalikan peluang kejadian tersebut dan banyak keseluruhan peristiwa yang terjadi.

Beberapa prinsip yang perlu diingat saat menghitung peluang beberapa kejadian :

1.    P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)     

2.    P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

3.    Apabila kejadian A dan B tidak beririsan maka A dan B dikatakan saling lepas.

4.    A dan B saling lepas : P(A ∩ B) = Ø

5.    Apabila kejadian A dan B tidak saling mempengaruhi maka A dan B dikatakan saling bebas.

6.    A dan B saling lepas : P(A) P(B) = P(A ∩ B)

7.    Apabila kejadian A dan B saling mempengaruhi maka A dan B dikatakan tidak saling bebas atau kejadian bersyarat. Jika A|B adalah kejadian A dengan syarat bahwa kejadian B telah muncul, maka

A dengan syarat B :       P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), kejadian syarat berfungsi sebagai pembagi

8.    Aplikasi Hukum De Morgan. Apabila A’ melambangkan kejadian bukan A maka

P(A’) = 1 - P(A)

P(A’ ∩ B’) = P(A U B)’ = 1 - P(A U B)

P(A’ U B’) = P(A ∩ B)’ = 1 - P(A ∩ B)

CONTOH SOAL/Petunjuk Proses Pemberian Tugas kepada Siswa

Para peserta didik, setelah membaca materi ajar yang diberikan, kalian pasti telah memahami prosedur untuk menentukan banyak kemungkinanatau banyak cara pengisian tempat dengan menggunakan metode Filling Slotsdan Product Rule (Aturan Perkalian). Dalam menggunakan metode tersebut, kalian harus dapat mengidentifikasi banyaknya slot untuk tiap-tiap kasus, serta banyak kemungkinan yang dapat digunakan untuk tiap-tiap slot. Nah, untuk menambah pemahaman kalian mengenai penggunaan metode Filling Slots dan Product Rule (Aturan Perkalian), silakan mengerjakan soal-soal latihan berikut:

1.      Carilah sepuluh kasus dalam kehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan penentuan banyak kemungkinanatau banyak cara pengisian tempat. Contoh: sebuah brankas hanya dapat dibuka dengan memasukkan kode empat-digit (empat angka) pada empat sel, sedangkan angka yang dapat digunakan pada tiap-tiap sel adalah 0 hingga 9. Berapakah banyak kemungkinan kode yang dapat dibuat?

2.      Identifikasilah banyaknya slot pada tiap-tiap kasus dan banyak kemungkinan yang dapat digunakan untuk tiap-tiap slot. Contoh: pada brankas tersebut, banyaknya slot adalah 4 (sesuai dengan banyak sel yang dapat diisi) sedangkan banyak kemungkinan untuk tiap-tiap slot adalah 10 (yakni angka 0 hingga 9 yang dapat dimasukkan pada masing-masing sel).

3.    Hitunglah banyak kemungkinan atau banyak cara pengisian tempat untuk masing-masing kasus.

Selamat mengerjakan.

.Sumber:Materi Peyusunan Bahan Ajar Pendidikan Jarak Jauh  Jenjang SMA,UPT Tekkomdik